Makalah Persamaan Linear menggunakan matriks

I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Sistem persamaan linear terdiri atas persamaan-persamaan linear. Sistem persamaan linear terbagi- bagi atas beberapa sub materi. seperti: sistem persamaan linear satu variabel,  sistem persamaan liner dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem persamaan linear lebih dari dua variabel. Semakin banyak variabel yang ada akan semakin sulit untuk menentukan penyelesaiannya.

Sistem persamaan linear ini muncul di berbagai masalah baik teori maupun praktik. Penulisan koefisien bilangan pada sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan susun empat persegi panjang dari bilangan-bilangan itu. susunan ini dinamakan matriks.

Sedangkan pengertian matrik adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur yang sering dijumpai adalah matriks yang entrinya bilangan-bilangan real atau kompleks.

Penyelesaian masalah sistem persamaan linear dapat dilakukan langsung dengan cara Operasi Baris Elementer (OBE), eliminasi gauss-jordan, aturan Cramer, determinan,  matriks ataupun operasi lainnya.

Dalam pembahasan penyelesaian sistem persamaan linear kali ini penulis akan menggunakan matriks, karena bentuk matrik dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

B.      Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas dapat diidentifikasikan masalah-masalah yang berkenaan dengan masalah ini, antara lain:

a.    Siswa belum paham tentang Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks.

b.    Masih kurangnya manfaat penggunaan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks dalam kehidupan sehari-hari.

C.    Rumusan Masalah

Dalam mempelajari matematika, kita akan memerlukan atau membutuhkan

Sistem persamaan linear untuk pengetahuan dan untuk di aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Menentukan sistem persamaan linear memiliki banyak cara, maka untuk itu, dengan identifikasi masalah yang ada di atas, maka permasalahan dibatasi pada “Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks”

D.    Tujuan Makalah

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk:

a.    Memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Seminar Matematika

b.    Mengembangkan kemampuan dan pengetahuan tentang Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks.

c.    Menemukan solusi dari suatu permasalahan yang terkait dengan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Defenisi Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Persamaan linear  adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Sedangkan sistem persamaan linear adalah dua atau lebih persamaan linear dengan dua variabel atau lebih. Contoh sistem persamaan linear  2x – 5y = 6 dan 3x + 4y = 12.

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks  seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Contoh matriks

B.     Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks

Bentuk matriks dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear, pada pembahasan ini matriks akan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear tga variabel.

1.      Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut:

ax + by = p . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

cx + dy = q . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

            Dari persamaan (1) dan (2) tersebut dapat disusun kedalam bentuk matriks berikut:  

            Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel berarti menentukan

nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear itu. Dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan invers matriks  maka diperoleh

Ruas kiri dapat ditulis A^-1AX = (A^-1A)X = IX = X =  sehingga berlaku

Contoh:

            Tentukan penyelesaian dari sistem pertidak samaan linear berikut.

            2x + y = 4

            x + 3y = 7

Penyelesaian:

            Apabila sistem persamaan di atas disusun dalam bentuk matriks, diperoleh hasil sebagai berikut.

, dengan menggunakan rumus di atas diperoleh:

     

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear yang dimaksud adalah x = 1 dan y = 2

2.      Sistem persamaan Linear Tiga Variabel

Misalkan diberikan sistem persamaan linear yiga variabel berikut:

            Sistem persamaan linear di atas jika ditulis dalam bentuk matriks, maka bentuk persamaannya adalah:

Misalkan

Bentuk di atas dapat ditulis sebagai  AX = B. Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah  X = A^-1 B. Dalam hal ini,  

Oleh karena itu diperoleh:

Contoh:

            Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 1

x + y + z = 6

x – 2y + z = 0

Penyelesaian:

            Sistem persamaan linear berikut dapat disusun kedalam bentuk matriks sebagai berikut:

Misalkan

Dengan menggunakan minor-kofaktor diperoleh:

Oleh karena itu,

            Jadi, diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah .

            Dari contoh soal di atas, tampak bahwa menentukan sistem persamaan linear tiga variabel menggunkan metode di atas sangat lama, rumit, dan tingkat kesalahannya tinggi. Cara lain yang dapat digunakan adalah Transformasi baris elementer untuk menyelesaikan persamaan linear (SPL). Bandingkan mana cara yang lebih mudah dan praktis untuk digunakan.

Kita ubah terlebih dahulu SPL

           kedalam bentuk matriks       

Kemudian gunakan transformasi baris elementer sampai diperoleh sebuah baris yang memuat koefisien dua variabelnya nol.

          Pada baris ke-3 tampak bahwa koefisien kedua variabel, yaitu x dan z bernilai 0 sehingga diperoleh y = 2. Substitusikan Y = 2 ke baris ke-2 yaitu  y + 3z = 11 sehingga:    y + 3z = 11

                  2 + 3z = 11

                   3z = 9

                 

                  Oleh karena itu, diperoleh z = 3. Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke dalam persamaan baris-1 yaitu x + y + z = 6 sehingga

                  x +y + z = 6

                 

                 

Jadi penyelesaian SPL tiga variabel tersebut adalah  x = 1, y = 2 dan z = 3 atau ditulis dengan  Menurut kedua cara di atas, silahkan memilih mana penyelesaian yang lebih praktis untuk digunakan.

3.      Sistem Persamaan Linear Lebih dari Dua Variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ adalah koefisien untuk variabel pertama, x₁, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.