Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

(RPP)

Satuan Tingkat Pendidikan  : SMP

Mata Pelajaran                     : Matematika

Kelas/Semester                     : XII/1

Materi                                   : Peluang

Alokasi Waktu                     : 1 x 45 Menit

       I.            Standar Kompetensi : Memahami peluang kejadian sederhana

    II.            Kompetensi Dasar:    a. menentukan ruang sampel suatu percobaan

b. menentukan peluang suatu kejadian sederhana

 III.            Indikator

a.       Kognitif

1.      menentukan ruang sampel suatu percobaan

2.      mengidentifikasi peluang suatu kejadian sederhana

b.      Afektif

1.      Karakter

a)      Dapat dipercaya

b)      Menghargai

c)      Tanggung jawab individu

d)     Tanggung jawab sosial

e)      Adil

2.      Keterampilan Social

a)      Bertanya

b)      Memberikan ide atau pendapat

c)      Menjadi pendengar yang baik

d)     Kerja sama

 IV.            Tujuan Pembelajaran

a.       Kognitif

1.      Diberikan contoh suatu percobaan, siswa dapat memahami ruang sampelnya.

2.      Diberikan contoh suatu percobaan, siswa dapat menentukan ruang sampelnya.

3.      Diberikan contoh kejadian peluang sederhana, siswa dapat mengidentifikasi peluang suatu kejadian sederhananya.

b.      Afektif

1.      Karakter

Terlibat dalam proses belajar mengajar berpusat pada siswa, dan siswa diberi kesempatan melakukan penilaian diri terhadap kesadaran dalam menunjukkan karakter:

1.    Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter dapat dipercaya. Diantaranya siswa jujur, mampu mengikuti komitmen, mencoba melakukan tugas yang diberikan, menjadi teman yang baik dan membantu orang lain.

2.    Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter menghargai. Diantaranya siswa memperlakukan teman/guru dengan baik, sopan dan hormat, peka terhadap perasaan orang lain, tidak pernah menghina atau mempermainkan teman/guru, tidak pernah mempermalukan teman/guru.

3.    Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter tanggung jawab individu. Diantaranya siswa mengerjakan tugas-tugas yang diberikan, dapat dipercaya/diandalkan, tidak pernah membuat alasan atau menyalahkan orang lain atas perbuatannya.

4.    Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter tanggung jawab sosial. Diantaranya siswa mengerjakan tugas kelompok untuk kepentingan bersama, secara suka rela membantu teman/guru.

5.    Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter adil. Diantaranya siswa tidak pernah curang, menyontek hasil kerja siswa/kelompok lain, bermain/berbuat berdasarkan aturan, tidak pernah mengambil keuntungan dari yang lain.

6.    Dalam proses pembelajaran, siswa dapat dilatihkan karakter peduli. Diantaranya siswa peka terhadapperasaan orang lain, mencoba untuk membantu siswa/guru yang membutuhkan.

2.      Keterampilan Sosial

Terlibat dalam proses belajar mengajar berpusat pada siswa, siswa diberi kesempatan melakukan penilaian diri terhadap kesadaran dalam menunjukkan keterampilan sosial:

1.    Dalam diskusi kelompok atau kelas, siswa aktif mengajukan pertanyaan.

2.    Dalam diskusi kelompok atau kelas, siswa aktif memberikan ide atau pendapat.

3.    Dalam proses pembelajaran di kelas, siswa dapat menjadi pendengar yang baik.

4.    Dalam diskusi kelompok, siswa dapat bekerja sama dalam menyelesaikan tugas kelompok.

    V.            Model Pembelajaran

“Pembelajaran koopertif dengan metode STAD”

 VI.            Alat/Bahan:

VII.            Materi Pembelajaran:

A.    PERCOBAAN DAN RUANG SAMPEL

Jika suatu mata uang logam dilempar dan mata uang tersebut “fair” artinya salah satu muka tidak lebih lebih berat dari muka yang lainnya, maka kita tidak tahu muka mana yang terletak diatas. Hasil akan diketahui setelah kita melakukan percobaan, artinya benar-benar melakukan pelemparan. Keadaan seperti ini disebut kejadian acak.

Tetapi kita tahu benar semua kemungkinan hasil yang akan terjadi. Dalam hal ini, munculnya sisi gambar atau sisi angka. Himpunan dari semua kemungkinan yang muncul disebut ruang sampel.

Secara sederhana, ruang sampel untuk percobaan dengan dua hasil ini dapat ditulis sebagai : Ruang Sampel = {G,A}.G= gambar A= angka. Anggota  dari ruang sampel disebut titik sampel.

B.     PELUANG

1.      Melempar Mata Uang

                  Jika sekeping mata uang logam dilemparkan dan mata uang tersebut “fair” maka kedua sisi mempunyai peluang yang sama untuk muncul.

Jika kita tulis P {G} berarti peluang munculnya sisi gambar

 P {A} berarti peluang munculnya sisi angka

Maka P {G} = P{A}, karena ini merupakan semua kemungkinan, dan kita menggunakan angka satu untuk menyatakan peluang keseluruhan kemungkinan hasil,

maka: P{G}+P{A}=1 dengan demikian, kita simpulkan bahwa P {G}=  dan P{A}=

catatan: Jumlah peluang titik sampel untuk muncul dalam suatu percobaan adalah satu.

2.      Melempar Dadu

            Jika satu dadu dilempar, kita tahu bahwa ruang sampelnya adalah Ruang sampel={1,2,3,4,5,6}. Jika dadu tersebut “fair” artinya salah satu muka tidak mempunyai kecenderungan keluar yang lebih besar dari muka yang lain, maka mereka mempunyai peluang yang sama. Yaitu:

P{1} = P{2} = P{3} = P{4} = P{5} = P{6} = 1

Kesimpulannya adalah:

P{1} = P{2} = P{3} = P{4} = P{5} = P{6} =

3.      Peluang Dari Dua Percobaan

Pada pelemparan dua mata uang logam, akan di temui kejadian seperti munculnya dua angka, satu angka satu gambar, atau dua gambar. Ruang sampel dari kejadian ini dapat dicari dengan menggunakan tabel atau diagram pohon.

       I.            Proses Belajar Mengajar

A.  Pendahuluan (± 10 Menit)

No.	Kegiatan	Karakter/ Keterampilan Sosial	Keterlaksanaan (Terlaksana/Tidak)	Saran/ Perbaikan
1. 2.	Guru memberikan apersepsi atau memfokuskan siswa pada pembelajaran melalui aktifitas memahami ruang sampel dan menentukannya dalam suatu percobaan, seperti pada LKS 1 menentukan percobaan dan ruang sampel menggunakan mata uang logam.. Guru menyampaikan motivasi, dengan persoalan dalam bentuk peluang Dari setumpuk kartu bridge (52 kartu, 4 jenis, dan 2 warna) diambil satu kartu. tentukan ruang sampelnya jika kita hanya berminat dengan: a.       warna kartu b.      jenis kartu c.       jenis angka tertentu. yang akan diselesaikan siswa setelah menemukan solusi dari bagian berpikir kritis pada akhir kegiatan 2 LKS 1 (Fase 1)	Dalam kegiatan memahami ruang sampel dan menentukannya dalam suatu percobaan, siswa dapat bersikap adil, dapat dipercaya, bertanggung jawab secara individu, dan menghargai orang lain. Dalam kegiatan ini, siswa dapat menjadi pendengar yang baik, menghargai dan peduli terhadap oarang lain.

B.     Kegiatan Inti (± 25 Menit)

No	Kegiatan	Karakter/ Keterampilan Sosial	Keterlaksanaan (Terlaksana/Tidak)	Saran/ Perbaikan
1. 2. 3. 4. 5. 6.	Guru menyampaikan informasi dimana siswa diminta untuk menemukan perbedaan antara a.  peluang untuk pelemparan mata uang logam, b.  peluang untuk pelemparan mata dadu. c.       peluang untuk pelemparan dua buah percobaan. Kegiatan ini diikuti dengan tanya jawab (Fase 2). Siswa dikelompokkan menjadi beberapa kelompok yang heterogen dan setiap kelompok diberi LKS 2 peluang dari percobaan. (Fase 3). Siswa diminta untuk menyelesaikan kegiatan 3 pada LKS 2  dan memastikan bahwa mereka memahami apa yang akan dilakukan pada kegiatan berkelompok (Fase 3). Siswa bekerja dalam masing-masing kelompok menggunakan LKS 2 peluang dari percobaan (Fase 4). Guru berkeliling, mengajukan pertanyaan dan memberi bantuan kepada siswa jika diperlukan (Fase 4). Perwakilan dari beberapa kelompok mempresentasikan hasil kerja kelompoknya di depan kelas (Fase 5).	Dalam kegiatan ini, siswa dapat  menjadi pendengar yang baik, aktif bertanya, menghargai, dan peduli terhadap orang lain. Dengan dibentuknya kelompok, siswa dapat dilatihkan bekerja sama, bertanggung jawab secara individu dan sosial, peduli, dan menghargai orang lain. Dengan kegiatan ini, siswa dilatihkan untuk dapat dipercaya dan aktif bertanya. Dengan bekerja secara kelompok, siswa dilatihkan bertanggung jawab secara individu dan sosial, peduli, menghargai orang lain, dapat dipercaya, kerja sama, berpendapat, bertanya dan mendengar. Dengan kegiatan ini, siswa dilatihkan untuk aktif bertanya, berpendapat, serta dapat dipercaya. Dengan kegiatan presentasi, siswa dilatihakan untuk berani berpendapat, aktif bertanya, mendengar, peduli, menghargai, serta bertanggung jawab secara sosial.

 C.    Penutup (± 10 Menit)

No	Kegiatan	Karakter/ Keterampilan sosial	Keterlaksanaan (Terlaksana/Tidak)	Saran/ Kesimpulan
1. 2. 3. 4.	Siswa didorong untuk membuat kesimpulan tentang materi yang telah dipelajari (Fase 5). Siswa diminta mengerjakan LP1 Invers secara individu, dan pemberian feedback serta penyajian skor individu dan kelompok mengacu pada rubrik penilaian (Fase 6). Siswa diminta untuk mengisi LP2: Lembar Penilaian Diri secara individu Siswa diminta menyelesaikan persoalan dalam motivasi sebagai PR	Dengan kegiatan ini, siswa dilatihkan untuk berani berpendapat, menghargai orang lain, serta  bertanggung jawab secara individu. Dengan mengerjakan LP1, siswa dilatihkan bertanggung jawab  secara individu dan sosial serta dapat dipercaya. Dengan mengisi Lembar Penilaian Diri, siswa dilatihkan untuk dapat dipercaya.

      II.  Sumber Pembelajaran:

Penilaian dan Rubrik Penilaian

Instrumen                   : LP1: Invers   

RUBRIK PENILAIAN KELOMPOK

Anggota/Nama Siswa	Skor Individu	Bonus	Skor Akhir

Keterangan

1.      Poin bonus berdasarkan ketentuan berikut.

Kriteria	Bonus
90-100	6 poin
80-89	4 poin
70-79	2 poin

2.      Bonus yang ditetapkan adalah poin terendah dalam kelompok tersebut.

3.      Skor akhir individu siswa adalah skor individu ditambah bonus.

Belajar Mudah matematika

saya cukup heran mengetahui kenyataan banyak anak yang tidak suka matematika. Keheranan ini saya alami sewaktu menjadi tutor dadakan bagi keponakan yang masih bersekolah di bangku Sekolah Dasar (SD). Alasan yang mendasarinya beragam, namun sebagian besar menganggap matematika adalah pelajaran yang sulit.
 
Saya yakin, yang membuat anak tidak menyukai suatu mata pelajaran lebih karena mereka tidak menguasainya dengan baik. Mengapa mereka tidak menguasainya dengan baik ya karena mereka tidak suka, hehehe... Lingkaran setan dong kalau begitu. Agak mustahil jika mereka menguasai materi suatu pelajaran namun tidak menyukainya.
 

Download disini

Makalah Persamaan Linear menggunakan matriks

I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Sistem persamaan linear terdiri atas persamaan-persamaan linear. Sistem persamaan linear terbagi- bagi atas beberapa sub materi. seperti: sistem persamaan linear satu variabel,  sistem persamaan liner dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem persamaan linear lebih dari dua variabel. Semakin banyak variabel yang ada akan semakin sulit untuk menentukan penyelesaiannya.

Sistem persamaan linear ini muncul di berbagai masalah baik teori maupun praktik. Penulisan koefisien bilangan pada sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan susun empat persegi panjang dari bilangan-bilangan itu. susunan ini dinamakan matriks.

Sedangkan pengertian matrik adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur yang sering dijumpai adalah matriks yang entrinya bilangan-bilangan real atau kompleks.

Penyelesaian masalah sistem persamaan linear dapat dilakukan langsung dengan cara Operasi Baris Elementer (OBE), eliminasi gauss-jordan, aturan Cramer, determinan,  matriks ataupun operasi lainnya.

Dalam pembahasan penyelesaian sistem persamaan linear kali ini penulis akan menggunakan matriks, karena bentuk matrik dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

B.      Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas dapat diidentifikasikan masalah-masalah yang berkenaan dengan masalah ini, antara lain:

a.    Siswa belum paham tentang Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks.

b.    Masih kurangnya manfaat penggunaan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks dalam kehidupan sehari-hari.

C.    Rumusan Masalah

Dalam mempelajari matematika, kita akan memerlukan atau membutuhkan

Sistem persamaan linear untuk pengetahuan dan untuk di aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Menentukan sistem persamaan linear memiliki banyak cara, maka untuk itu, dengan identifikasi masalah yang ada di atas, maka permasalahan dibatasi pada “Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks”

D.    Tujuan Makalah

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk:

a.    Memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Seminar Matematika

b.    Mengembangkan kemampuan dan pengetahuan tentang Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks.

c.    Menemukan solusi dari suatu permasalahan yang terkait dengan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Defenisi Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Persamaan linear  adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Sedangkan sistem persamaan linear adalah dua atau lebih persamaan linear dengan dua variabel atau lebih. Contoh sistem persamaan linear  2x – 5y = 6 dan 3x + 4y = 12.

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks  seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Contoh matriks

B.     Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks

Bentuk matriks dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear, pada pembahasan ini matriks akan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear tga variabel.

1.      Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut:

ax + by = p . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

cx + dy = q . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

            Dari persamaan (1) dan (2) tersebut dapat disusun kedalam bentuk matriks berikut:  

            Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel berarti menentukan

nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear itu. Dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan invers matriks  maka diperoleh

Ruas kiri dapat ditulis A^-1AX = (A^-1A)X = IX = X =  sehingga berlaku

Contoh:

            Tentukan penyelesaian dari sistem pertidak samaan linear berikut.

            2x + y = 4

            x + 3y = 7

Penyelesaian:

            Apabila sistem persamaan di atas disusun dalam bentuk matriks, diperoleh hasil sebagai berikut.

, dengan menggunakan rumus di atas diperoleh:

     

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear yang dimaksud adalah x = 1 dan y = 2

2.      Sistem persamaan Linear Tiga Variabel

Misalkan diberikan sistem persamaan linear yiga variabel berikut:

            Sistem persamaan linear di atas jika ditulis dalam bentuk matriks, maka bentuk persamaannya adalah:

Misalkan

Bentuk di atas dapat ditulis sebagai  AX = B. Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah  X = A^-1 B. Dalam hal ini,  

Oleh karena itu diperoleh:

Contoh:

            Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 1

x + y + z = 6

x – 2y + z = 0

Penyelesaian:

            Sistem persamaan linear berikut dapat disusun kedalam bentuk matriks sebagai berikut:

Misalkan

Dengan menggunakan minor-kofaktor diperoleh:

Oleh karena itu,

            Jadi, diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah .

            Dari contoh soal di atas, tampak bahwa menentukan sistem persamaan linear tiga variabel menggunkan metode di atas sangat lama, rumit, dan tingkat kesalahannya tinggi. Cara lain yang dapat digunakan adalah Transformasi baris elementer untuk menyelesaikan persamaan linear (SPL). Bandingkan mana cara yang lebih mudah dan praktis untuk digunakan.

Kita ubah terlebih dahulu SPL

           kedalam bentuk matriks       

Kemudian gunakan transformasi baris elementer sampai diperoleh sebuah baris yang memuat koefisien dua variabelnya nol.

          Pada baris ke-3 tampak bahwa koefisien kedua variabel, yaitu x dan z bernilai 0 sehingga diperoleh y = 2. Substitusikan Y = 2 ke baris ke-2 yaitu  y + 3z = 11 sehingga:    y + 3z = 11

                  2 + 3z = 11

                   3z = 9

                 

                  Oleh karena itu, diperoleh z = 3. Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke dalam persamaan baris-1 yaitu x + y + z = 6 sehingga

                  x +y + z = 6

                 

                 

Jadi penyelesaian SPL tiga variabel tersebut adalah  x = 1, y = 2 dan z = 3 atau ditulis dengan  Menurut kedua cara di atas, silahkan memilih mana penyelesaian yang lebih praktis untuk digunakan.

3.      Sistem Persamaan Linear Lebih dari Dua Variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ adalah koefisien untuk variabel pertama, x₁, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.