Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product

Perkalian silang dari dua buah vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, sehingga perkalian silang dua buah vektor juga disebut dengan perkalian vektor. Hasil perkalian silang vektor A dan vektor B (dibaca A cross B) menghasilkan vektor C. Vektor C yang dihasilkan ini selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B.

Ditulis:  hasilnya berupa vector. Dengan

Adapun arah vektor  akan mengikuti tangan kanan atau sekrup putar kanan, seperti tampak pada gambar berikut:

          Berdasarkan defenisi perkalian silang atara dua vector, maka perkalian vector dalam koodinat dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memandang perkalian vector antara vector-vektor berikut:

           =

             =  = (1.1.0) = 0

           =

            

Sifat-sifat Hasil Kali Vektor

·         A X B ≠ B X A

A X B = - (B X A)          (anti komutatif)

·         (k.A) X B = k (A X B) = A (k.B)

·         A X (B + C) = (A X B) + (A X C)

·         (A + B) X C = (A X C) + (B X C)

Dalam R3                         I x I = j x j = k x k = 0

sehingga:  

·        i × j = k                i × k = -j

·         j × k = i               j × i = -k

·        k × i = j                k × j = -i

Jika :    A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

Maka:

     A×B= (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)

 = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k

atau:

             =  dan 

SOAL:

1.      jika A = 2i – 3j –k dan B = i + 4j – 2k,

carilah (a). A x B, (b). B x A, (c). (Ax B) x (A – B)

Penyelesaian:

(a). A x B = (2i – 3j –k)( i + 4j – 2k) =

                                                           = i

metode lain:

(2i – 3j –k)( i + 4j – 2k) = 2i(i + 4j – 2k) – 3j(i + 4j – 2k) – k(i + 4j – 2k)

                                      = 2ixi + 8ixj – 4ixk – 3jxi – 12jxj + 6jxk – kxi – 4kxj + 2kxk

                                      = 0 + 8k + 4j + 3k – 0 +6i – j + 4i + 0 = 10i + 3j + 11k

(b). B x A =  ( i + 4j – 2k) (2i – 3j –k) = 

= i

catatan:

“jika dua buah garis dari determint dipertukarkan maka determinannya berubah tanda                          (A x B = - B x A) ”

(c). (Ax B) = (2i – 3j –k) + ( i + 4j – 2k) = 3i + j – 3k

(A – B) = (2i – 3j –k) - ( i + 4j – 2k) =  i – 7j + k

maka: (Ax B) x (A – B) = (3i + j – 3k)( i – 7j + k) =

                                     = i

2.      Jika A = A₁i + A₂j + A₃k  dan  B = B₁i + B₂j + B₃k,  buktikan bahwa

A x B =

Penyelesaian:

A x B = (A₁i + A₂j + A₃k)(B₁i + B₂j + B₃k)

= A₁i (B₁i + B₂j + B₃k) + A₂j (B₁i + B₂j + B₃k) + A₃k  (B₁i + B₂j + B₃k)

= A₁ B₁ ixi + A₁ B₂ ixj + A₁ B₃ ixk + A₂B₁ jxi +  A₂ B₂ jxj + A₂ B₃ jxk + A₃ B₁ kxi +                                A₃ B₂ kxj + A₃ B₃ kxk

= (A₂B₃ – A₃B₂) i + ( A₃B₁ – A₁B₃) j + (A₁B₂ – A₂B₁) k =

3.      Tentukan vector satuan yang tegak lurus bidang dari  A = 2i – 6j – 3k  dan B = 4i + 3j – k

A x B adalah sebuah vector yang tegak lurus bidang dari A dan B.

Penyelesaian:

            A x B =  = 15i – 10 j + 30k

vector satuan yang sejajar A x B =  =

                                                                    =      

vector satuan  lainnya yang berlawanan arah adalah (- 3i  – 2j + 6k)/7